- Что такое лента мебиуса?
- «магия» ленты мебиуса
- Делаем сами, своими руками!
- Зачем нужна петля мебиуса? применение
- Источник творческого вдохновения
- Как устроена лента мебиуса: символ бесконечности
- Лента мёбиуса и знак бесконечности
- Мёбиус и его лента | журнал ярмарки мастеров
- Научное использование
- Непрерывность
- Открытие августа мебиуса
- Примечания
- Реализация на практике
- Свойства
- Связность
Что такое лента мебиуса?
Лента Мебиуса (или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) – одна из наиболее известных в математике поверхностей. Петля Мебиуса — это петля с одной поверхностью и одним краем.
Чтобы понять, о чем идет речь, и как такое может быть, возьмите лист бумаги, вырежьте полоску прямоугольной формы и в момент соединения ее концов перекрутите на 180 градусов один из них, после чего соедините. Разобраться в том, как сделать ленту Мебиуса поможет картинка ниже.
«магия» ленты мебиуса
- Несмотря на кажущееся наличие у листа Мебиуса двух сторон, на самом деле сторона всего одна, и раскрасить в два цвета ленту не получится.
- Если ручкой или карандашом начертить по всей длине петли линию, не отрывая руку от листа, то грифель в конечном итоге остановится в точке, с которой Вы начали чертить линию;
- Примечательные опыты получаются при разрезании ленты, способные удивить, как взрослого, так и ребенка в особенности.
- Для начала склеим ленту Мебиуса, как было рассказано ранее. Затем разрежем ее вдоль по всей длине ровно посередине, как показано ниже:
Вас порядком удивит результат, ведь вопреки ожиданиям в руках останется не два отрезка ленты, и даже не два отдельных круга, но другая, еще более длинная лента. Это уже будет не лента Мебиуса, перекрученная на 180 градусов, а лента с поворотом на 360 градусов.
- Теперь проведем другой эксперимент – сделаем еще одну петлю Мебиуса, после чего отмерим 1/3 ширины ленты и отрежем по этой линии. Результат поразит вас еще больше – в руках останутся две отдельные ленты разных размеров, соединенные вместе, как в цепочке: одна маленькая лента, и более длинная вторая.
У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов.
- Можно и дальше продолжать эксперимент, разрезая получившиеся ленты на еще более узкие, результат увидите сами.
Делаем сами, своими руками!
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются:
— лист обычной бумаги;
— ножницы;
— линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Зачем нужна петля мебиуса? применение
Лента Мебиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием.
Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.
Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса.
Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса — способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех.
Источник творческого вдохновения
Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.
Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.
Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.
Как устроена лента мебиуса: символ бесконечности
Этот объект известен с середины XIX века. Его необычная форма скрывает не менее необычные свойства. Самое интересное, что сделать такой объект можно из обычного листа бумаги.
Сделать ленту Мебиуса можно за пару минут из обычной полоски бумаги. Для этого нужно взять полоску, развернуть один из ее краев на 180 градусов так, чтобы нижняя часть полоски стала верхней. Затем необходимо склеить оба края. Получится замкнутая фигура, называемая лентой Мебиуса.
Лента Мебиуса обладает множеством разных свойств, но есть одно, которое выделяет эту фигуру среди других. Представим, что мы встали на такую ленту и пошли по ней в любом направлении. Когда мы пройдем полный круг, то окажемся в той же точке ленты, но на обратной ее стороне. Если двигаться дальше и пройти второй круг, то мы придем в изначальную точку. Это свойство называется односторонностью поверхности.
Эта фигура получила название от фамилии немецкого математика, который впервые описал ее в литературе в 1858 году. Однако, судя по историческим находкам, математики были не первыми, кто «додумался» до такой ленты. В Мюнхенской глиптотеке есть римская мозаика, которая датируется III веком нашей эры. На ней изображен бог Эон внутри небесной сферы, свернутой в виде ленты Мебиуса. Поэтому, хотя эта фигура и носит имя немецкого математика, считать его изобретателем этой структуры нельзя.
На первый взгляд кажется, что лента Мебиуса, как и многие математические структуры, бесполезна в реальном мире. Однако, эта фигура прочно вошла в нашу жизнь, хотя заметить ее совсем непросто. Например, в виде ленты Мебиуса делают конвейеры. Их плюс в том, что вся полоса изнашивается равномерно. Также в виде этой фигуры делают красящие ленты в матричных принтерах, что позволяет увеличить их ресурс работы. Наиболее знаменитое воплощение ленты Мебиуса в реальной жизни — это символ переработки (ресайклинга).
Лента мёбиуса и знак бесконечности
Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ ∞ {displaystyle infty } стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса[9] (см. Символ бесконечности).
Мёбиус и его лента | журнал ярмарки мастеров
Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. Именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мебиуса, которая была обнаружена независимо еще одним немецким математиком Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 г.
Отец будущего ученого работал преподавателем танцев, а потому проживал в комнатах для преподавателей с женой и ребенком. Маленький Август плохо запомнил отца, ведь тот умер, когда ребенку не было еще и трех лет. Поэтому все начальное воспитание дала ему мать, в семье которой всегда гордились ее предком, Мартином Лютером. Кстати, уже в раннем возрасте Август активно интересовался математикой.
После окончания гимназии Мебиус поступил в Лейпцигский университет на факультет права. Проучившись полсеместра, он пришел к выводу, что быть правоведом — не его призвание, а потому перешел к изучению астрономии и математики. После окнчания университета Мебиус уехал из Лейпцига. Он посещал лекции в Геттингенском университете, математические семинары в университете Галле.
После защиты диссертации Мебиуса пригласили преподавателем астрономии в Лейпцигский университет. Ему дали звание экстраординарного профессора (несмотря на пышное название — это низшая степень, присваиваемая новичкам). На этом его карьерный рост надолго остановился. Причиной тому было полное неумение выставить себя в выгодном свете, заручиться поддержкой коллег или студентов. Он был очень спокойным и сдержанным человеком, лекции его не отличались театральностью, а потому на них приходило немного студентов. Все просто: чем меньше студентов, вносящих оплату за курс, тем меньше жалование и хуже отношение начальства.
Все это время Август Мебиус живет вместе с матерью, но в 1820 г. она умирает. Возможно, именно неустроенный быт заставляет его решиться на женитьбу. Его избраницей стала слепая от рождения девушка, однако это не помешало ей произвести на свет и воспитать трех прекрасных детей.
Только через 28 лет безупречной службы руководство Лейпцигского университета наконец-то предложило Мёбиусу звание профессора.
Говорят, что открытию свойств ленты Мебиуса, помогла служанка ученого, которая то ли неправильно сшила ленту, то ли слишком тщательно обматывала горло шарфом. На тот момент Мёбиусу было 68 лет.
Эту ленту сравнивают с символом бесконечности, ведь вдоль ее поверхности можно вести линию, сколь угодно долго. Увы, это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.
Существует много занимательных опытов по разрезанию ленты Мебиуса. Но лента Мебиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мебиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.
Лента Мебиуса используется как международный символ вторичной переработки. Этот знак вы увидите на упаковке товара, который сделан из переработанного сырья, либо пригоден для последующей переработки.
Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур и картин.
Голландский художник М.К. Эшер создан несколько литографий с использованием ленты. Один из известнейших примеров — литография «Лист Мебиуса II», в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте.
В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура «Лента Мёбиуса». Скульптурный ансабль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что «Лента Мёбиуса» символизирует связь между прошлым и будущим.
В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. На основании скульптуры есть девиз: «Разные точки зрения на один предмет».
Лента Мебиуса установлена в Риге на месте бывшего памятника Ленина в честь грядущего 800-летия города.
Есть памятный знак «Лента Мёбиуса» в Минске.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса — на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.
В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво.
Лента Мебиуса завсегдатай в научной фантастике, она встречается например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты», постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла», есть в эссе Харуки Мураками «Облади Облада». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мебиуса. Существует теория, что ДНК — это часть листа Мебиуса.
Свойства ленты Мебиуса нашли свое применение не только в науке, технике, но и в быту. Вязальщицы неутомимо вяжут снуды — шарфы в виде ленты Мебиуса. Надеюсь, что именно они поддержат эту публикацию, нажав на кнопочку «нравится»!
По материалам интернета.
Ваша мадам ЛеЖо.
Научное использование
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.
Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Непрерывность
Тополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.
Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.
Открытие августа мебиуса
«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус, ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году.
Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик Иоганн Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.
Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса.
На самом деле, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.
Примечания
- Фукс Д.
Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // «Квант», № 1, 1979. - Randrup T., Rogen P. (1996). «Sides of the Möbius strip». Archiv der Mathematik66
: 511—521. - Starostin. E. L., van der Heijden G. H. M. (2007). «The shape of a Möbius strip». Nature Materials
. DOI:10.1038/nmat1929. - Кордемский Б. А.
Топологические опыты своими руками // «Квант», № 3, 1974 - M.C. Escher — Möbius Strip II
- (СПб.: Амфора, 2003)
- Мастер вычисления
- Архитектор Мария Серова — о «доме с ухом» Леонида Павлова — The Village — The Village
- Лента Мёбиуса // Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009
Реализация на практике
В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.
На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них — это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
Свойства
- Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
- Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] {displaystyle left[0,;1right]times left[0,;1right]} по отношению эквивалентности ( x , 0 ) ∼ ( 1 − x , 1 ) {displaystyle left(x,;0right)sim left(1-x,;1right)} для 0 ⩽ x ⩽ 1 {displaystyle 0leqslant xleqslant 1} .
- Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
- Ленту Мёбиуса возможно поместить в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть C {displaystyle C} будет единичным кругом в плоскости x y {displaystyle xy} в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} . Соединив антиподные точки на C {displaystyle C} (то есть точки под углами θ {displaystyle theta } и θ π {displaystyle theta pi } ) дугой круга, получим, что для θ {displaystyle theta } между 0 {displaystyle 0} и π / 2 {displaystyle pi /2} дуги лежат выше плоскости x y {displaystyle xy} , а для других θ {displaystyle theta } — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y {displaystyle xy} ).[источник не указан 1040 дней
] Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
z 1 = sin η e i φ {displaystyle z_{1}=sin eta ,e^{ivarphi }} z 2 = cos η e i φ / 2 , {displaystyle z_{2}=cos eta ,e^{ivarphi /2},} Здесь параметр η {displaystyle eta } изменяется от 0 до π {displaystyle pi } . Границей этой поверхности является окружность z 1 = 0 , | z 2 | = 1 {displaystyle z_{1}=0,|z_{2}|=1} .
Связность
Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей.
Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.